对集合的一点新认识

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【摘要】：  空集（Ø）是一类特殊集合，在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法，从理论上通过对空集的重新认识阐述，叙述了空集的现行概念、与非空集（Ø）关系及悖论性；初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。

【关键词】：   空集；悖论性；嵌套性；循环节

一、对空集（Ø）的认识

1．空集（Ø）的现有定义

不含任何元素的集合称为空集，记作Ø。

2.空集（Ø）与非空集（Ø）之间的关系

现行教材的规定：

空集（Ø）是一切集合的子集；空集（Ø）是一切非空集（Ø）的真子集。

空集（Ø）与非空集（Ø）之间定义了2种关系，即“子集”，“ 真子集”关系；或Ø C Ø    Ø C Ø

  3．悖论性，“空集的二重性”

若给定空集（Ø）与集合A={1，2，Ø}，那么存在如下命题：

（I） Ø ∈A ，理由：集合的定义；

（II）Ø C A 或Ø C  A，理由：空集的性质（规定）。

前者反映集合与元素之间关系的唯一性；要么属于，要么不属于；后者反映集合与集合之间关系的明确性，定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。

由此说明空集（Ø）的二元性：在同一条件下，既是集合又是元素，从而说明集合、元素概念的矛盾性（并不完备）。

二、对非空集（Ø）的认识

给定2个集合A={1，2}，B={1，2，A}。试确定二者之间的关系。显然，从集合与元素之间的关系出发，有A ∈ B；若从集合与集合之间的关系考虑，A与B之间满足“真包含”关系，即B C A。前者肯定了集合与元素之间的关系，后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集A与集B究竟应该明确如何关系呢？目前中学教材尚无定论。当问题出现时，老师和学生就不好把握。

三、“属于”“ ∈  ”，“子集”“ C ”，“真子集”“ C  ”在同一条件下的地位分析

    [例证]：给定集合A、B，

A={1，2}

B={1，2，A}

从现有的教材我们可以看出，集合与元素之间的从属关系在前，集合与集合之间的（真）子集关系在后。这2种关系是相对独立的。

讨论：

1^O.如果肯定了A  ∈  B,那么就否定了A与B的子集关系；

2^O.如果肯定了A C B,则否定了A ∈ B，也就是不能肯定A与B的从属关系，进而否定了集合的定义。

分析：

由于集合与元素之间的从属关系在前，是铺垫、是基石，因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾，排除以子集为元素的情况。我们规定A C B<=>任意a ∈ A,则a ∈ B, 且A <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> B，这样就明确了A与B资集关系的唯一性。

四、嵌套集

定义集合A={1,2,B},B=A.则A为嵌套集。其中｛1，2｝为嵌套集的循环节。

例证推演：

设集合A=｛1，2，B｝,且B=A；则集A可作如下的推演，

A={1,2,B}={1,2,{1,2,B}}={1,2{1,2{1,2,B}}}=……

这里集A中存在嵌套元素B。

[特例]

考察数列｛a_n｝, a_n= (有n 个“ ”)，求a_n→?(n→ ).

解法一：利用代数方程求解

令A= ，A=a_n 则有A=B(n→ )。注意，这里A=B是隐含条件；

对A= 变形得A²=2B，利用A=B，求出A=2.

解法二：利用等比数列性质公式求值

a_n= 2^{[ ]}，等比数列｛a_n｝的首项和公比都是1/2，无穷项之和S=1，因此a_n→2  (n→ ) .于是得到 =2.

从以上两种证法比较看出，利用代数方程求解（嵌套分离）方法较为简单。

像这种循环根式如上例 化简都可以通过循环节来建立代数方程求解。

思 考：

根式化简

T1:  （提示：由A²=a•A得到A=a ）

T2: （提示：由A⁴=2²•3•B得到A= ）

T3: （提示：由A⁶=2³•3•B得到A=  ）

求解循环根式重要的是找出循环节；如T₁式,循环节 ；T₂式, 循环节 ；T₃式,循环节 。然后建立代数方程求解。

作者：老**职业技术学校 陈中林